The Hamiltonian $\int_X(\lvert{\partial_t u}\rvert^2 + \lvert{\nabla u}\rvert^2 + \mathbf{m}^2\lvert{u}\rvert^2)\,dx$, defined on functions on $\mathbb{R}\times X$, where $X$ is a compact manifold, has critical points which are solutions of the linear Klein-Gordon equation. The author considers perturbations of this Hamiltonian, given by polynomial expressions depending on first order derivatives of $u$.
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